ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 562251 Добавить в вариант

Решите неравенство $левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 49 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначая $t=7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка ,$ во второй скобке получим $t в квадрате минус t минус 2 = левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка ,$ откуда

$левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 49 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0.$ $левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 49 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0.$ $левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 49 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0.$

Решим это неравенство методом интервалов.

ОДЗ неравенства: $x больше 0,$ $x не равно 1.$ Найдём нули левой части:

$левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений 3 минус x=0,7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию x 5 правая круглая скобка =2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3, логарифм по основанию 2 7 логарифм по основанию x 5=1 конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений x=3, логарифм по основанию 2 7= дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию x 5 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3, логарифм по основанию 2 7= логарифм по основанию 5 x конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3,x=5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка . конец совокупности .$

Отметим на числовой прямой ОДЗ и корни на оси, выберем пробные точки:

— при $x=125$ получаем $левая круглая скобка 3 минус 125 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 125 правая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0$   — верно;

— при $x=5$ получаем $левая круглая скобка 3 минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0$   — неверно;

— при $x=2$ получаем $левая круглая скобка 3 минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0$   — верно;

— при $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ получаем $левая круглая скобка 3 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка \geqslant0$   — неверно.

Получаем, что $1 меньше x\leqslant3$ или $x\geqslant5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 1; 3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 351

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа, Область определения неравенства, Показательные уравнения и неравенства, Рациональные неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь