Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD.
а) Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм или трапеция.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM = 1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18.
а) Заметим, что равны треугольники ABP и BMP (по двум сторонам и углу между ними). Поэтому AP = MP. Аналогично, равны треугольники CMP и CDP, поэтому DP = MP. Значит, в треугольнике AMD медиана MP равна половине стороны AD, поэтому угол AMD — прямой. Угол BMA равен 
угол CMD равен 
Поэтому угол 
Но одновременно с этим он прямой. Таким образом, 
и прямые AB и CD параллельны.
б) Пусть прямая BP пересекает прямую AM в точке E, прямая CP пересекает прямую MD в точке F. Заметим, что BE — биссектриса и высота треугольника ABM, аналогично CF — биссектриса и высота треугольника MCD, поэтому получаем, что EMFP — прямоугольник.
Из подобия треугольников BME и BCP, а потом и из подобия треугольников CMF и CBP получаем, что EM : PC = 1 : 4, MF : PB = 3 : 4.
По условию, EM · MF = 18, значит,
Площадь ABCD вдвое больше площади треугольника BPC, поэтому она равна 
Ответ: 96.