Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 562250
i

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 точка P лежит на ребре AA1, причём A1P : PA  =  3 : 4, BB1  =  14, AD  =  6. Плос­кость DPB1 пе­ре­се­ка­ет ребро CC1 в точке N, тан­генс угла между пря­мой  NP и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD равен дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник DPB1N  — ромб.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPB1N.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Так как бо­ко­вые грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да по­пар­но па­рал­лель­ны, сто­ро­на се­че­ния PD па­рал­лель­на сто­ро­не B1N, а сто­ро­на се­че­ния PB1 па­рал­лель­на сто­ро­не ND, сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм. Про­ведём пря­мую RN па­рал­лель­но диа­го­на­ли ос­но­ва­ния AC. Пря­мые PB1 и ND па­рал­лель­ны, по­это­му пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки PA1B1 и NCD равны. Далее имеем:

A_1P=NC=AR= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби AA_1=6,

PR=2,

AC=RN= дробь: чис­ли­тель: PR, зна­ме­на­тель: тан­генс \angle PNR конец дроби =10,

CD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те минус AD в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =8,

а тогда DN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CD в квад­ра­те плюс NC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =10 и B_1N= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B_1C_1 в квад­ра­те плюс C_1N в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =10. Таким об­ра­зом, DPB1N  — ромб.

б)  Найдём диа­го­на­ли ромба:

PN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: RN в квад­ра­те плюс PR в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та ,

B_1D= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BD в квад­ра­те плюс BB_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 74 конец ар­гу­мен­та .

Те­перь найдём пло­щадь ромба:

S_DPB_1N= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби PN умно­жить на B_1D=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 481 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 481 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 351
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пло­щадь се­че­ния, Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, Се­че­ние  — ромб
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025