PDF-версии: 
i
На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое всех написанных чисел было равно 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, вдвое меньшее первоначального. Числа, оказавшиеся после этого меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, стать больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать больше 12, но меньше 13?
в) Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.
других чисел. Заметим, что стирают те числа, которые исходно были единицами. 
получим неравенство 
Годится, например, 
Тогда подходят такие числа: 25 единиц и числа 35, 36, 37, 38, 39. 
Домножая на знаменатель (он положителен), получим 
и 
Значит, 
и 
Тогда 
что невозможно при целых n.
откуда 
Таким образом, пример из пункта а) дает максимально возможное значение среднего арифметического: 