На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое всех написанных чисел было равно 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, вдвое меньшее первоначального. Числа, оказавшиеся после этого меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, стать больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел стать больше 12, но меньше 13?
в) Найдите максимальное возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.
Пусть изначально на доске были написаны n единиц и 
других чисел. Заметим, что стирают те числа, которые исходно были единицами.
а) Да, могло быть. Заметим, что сумма этих других чисел равна 
получим неравенство 
Годится, например, 
Тогда подходят такие числа: 25 единиц и числа 35, 36, 37, 38, 39.
б) Нет, не могло. Сумма всех чисел равна 210. Аналогично решению пункта а) получим двойное неравенство: 
Домножая на знаменатель (он положителен), получим
откуда 
и 
Значит, 
и 
Тогда 
что невозможно при целых n.
в) Пусть M — среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске. Тогда
Ясно, что M максимально, если n максимально. Вспомним, что исходные числа не превосходят 40. Значит. 
откуда 
Таким образом, пример из пункта а) дает максимально возможное значение среднего арифметического: 
Ответ: а) да; б) нет; в) 18,5.