а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  — пра­виль­ные ше­сти­уголь­ни­ки. Точки K, L и M  — се­ре­ди­ны рёбер EF, CD и BB₁ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM делит ребро FF₁ в от­но­ше­нии 1 : 5, счи­тая от точки F.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния A₁B₁C₁D₁E₁F₁ до плос­ко­сти KLM, если приз­ма пра­виль­ная, AB  =  1 и

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, делит ме­ди­а­ну BM на три рав­ные части.

а)  До­ка­жи­те, что BC : CA : AB  =  5 : 10 : 13.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, если BM  =  12.

4 де­каб­ря 2020 года Ваня взял кре­дит на сумму 3 млн руб­лей. Усло­вия воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

— 3‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 10%;

—  с 4‐⁠го по 25‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца, на­чи­ная с ян­ва­ря 2021 года, не­об­хо­ди­мо по­га­сить часть долга одним пла­те­жом;

—  в пе­ри­од с 04.01.2021 по 25.01.2021 не­об­хо­ди­мо за­пла­тить x тыс. руб.;

—  с фев­ра­ля по но­ябрь 2021 года 26‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг (вме­сте с на­чис­лен­ны­ми про­цен­та­ми) дол­жен быть мень­ше долга на 26‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на одну и ту же ве­ли­чи­ну;

—  в пе­ри­од с 04.12.2021 по 25.12.2021 не­об­хо­ди­мо за­пла­тить x тыс. руб.;

—  к 26.12.2021 кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Общая сумма вы­плат со­ста­вит 5,06 млн руб. Най­ди­те x.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

На доске было на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех на­пи­сан­ных чисел было равно 7. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, вдвое мень­шее пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ока­зав­ши­е­ся после этого мень­ше 1, с доски стёрли.

а)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, остав­ших­ся на доске, стать боль­ше 14?

б)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел стать боль­ше 12, но мень­ше 13?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го остав­ших­ся на доске чисел.