РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 620216 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 360

Методы геометрии: Использование векторов

Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Угол между прямыми

Стереометрическая задача. Комбинации фигур

Две правильные четырехугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общее основание ABCD и расположены по разные стороны от него. Точки M и N  — середины рёбер AB и BC соответственно. Все ребра пирамид равны.

а)  Докажите, что угол между прямыми AE и BF равен 60°.

б)  Найдите угол между прямыми EM и FN.

Решение. а)  Введём систему координат, как показано на рисунке: начало координат O  — центр основания, Ox  — луч  ON, Oy  — луч  OM, Oz  — луч  OE. Пусть OM  =  ON  =  a, тогда $OB=a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ EB  =  2a, $OE=a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Координаты точек будут $A левая круглая скобка минус a; a; 0 правая круглая скобка ,$ B(a; a; 0), $E левая круглая скобка 0;0;a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ,$ $F левая круглая скобка 0;0; минус a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка .$ Тогда $\overrightarrowAE= левая круглая скобка a; минус a;a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ,$ $\overrightarrowBF= левая круглая скобка минус a; минус a; минус a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ,$ $| \overrightarrowAF|=| \overrightarrowBF|=2a,$ $\overrightarrowAE умножить на \overrightarrowBF = минус 2a в квадрате ,$

$косинус левая круглая скобка \widehat\overrightarrowAE, \overrightarrowBF правая круглая скобка = дробь: числитель: \overrightarrowAE умножить на \overrightarrowBF, знаменатель: | \overrightarrowAE| умножить на | \overrightarrowBF| конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

следовательно, $левая круглая скобка \widehat\overrightarrowAE, \overrightarrowBF правая круглая скобка =120 градусов ,$ и, таким образом, угол между прямыми AE и BF равен 180° − 120°  =  60°.

б)  Координаты точек M(0; a; 0), N(a; 0; 0), тогда $\overrightarrowEM= левая круглая скобка 0;a; минус a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ,$ $\overrightarrowFN= левая круглая скобка a;0;a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ,$ $|\overrightarrowEM|=|\overrightarrowFN|=a корень из 3 ,$ $\overrightarrowEM умножить на \overrightarrowFN= минус 2a в квадрате ,$

$косинус левая круглая скобка \widehat\overrightarrowEM, \overrightarrowFN правая круглая скобка = дробь: числитель: \overrightarrowEM умножить на \overrightarrowFN, знаменатель: | \overrightarrowEM| умножить на | \overrightarrowFN| конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$

следовательно, угол между прямыми EM и FN равен $арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: б) $арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

620216

б) $арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 360

Методы геометрии: Использование векторов

Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Угол между прямыми

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	620216	б) $арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$