а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу

Две пра­виль­ные че­ты­рех­уголь­ные пи­ра­ми­ды EABCD и FABCD имеют общее ос­но­ва­ние ABCD и рас­по­ло­же­ны по раз­ные сто­ро­ны от него. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер AB и BC со­от­вет­ствен­но. Все ребра пи­ра­мид равны.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми AE и BF равен 60°.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми EM и FN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вла­ди­мир по­ме­стил в банк 3600 тысяч руб­лей под 10% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых двух лет хра­не­ния после на­чис­ле­ния про­цен­тов он до­пол­ни­тель­но вно­сил на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу тре­тье­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 48,5%. Какую сумму (в ты­ся­чах руб­лей) Вла­ди­мир еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

Дан пря­мо­уголь­ник ABCD. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABD и BDC, ка­са­ют­ся диа­го­на­ли BD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABC и ADC, ка­са­ют­ся диа­го­на­ли AC в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что MNKL  — пря­мо­уголь­ник, по­доб­ный ис­ход­но­му.

б)  Най­ди­те ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия, если ко­си­нус угла между диа­го­на­ля­ми ис­ход­но­го пря­мо­уголь­ни­ка равен

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, в за­пи­си ко­то­рых могут быть толь­ко цифры 1 и 6.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?