Дан прямоугольник ABCD. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC, касаются диагонали BD в точках M и N соответственно. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются диагонали AC в точках K и L соответственно.
а) Докажите, что MNKL — прямоугольник, подобный исходному.
б) Найдите коэффициент подобия, если косинус угла между диагоналями исходного прямоугольника равен 
а) Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке P. Из равенства треугольников ABC и BAD следует, что BM = AK. Тогда PM : BM = PK : AK. Отсюда получаем, что треугольники PMK и PAB подобны и прямые MK и AB параллельны, причем MK : AB = PM : PB. Аналогично, BM = CL, поэтому прямые ML и BC параллельны и ML : BC = PM : PB. Итак, стороны четырехугольника LMKN параллельны сторонам прямоугольника ABCD и пропорциональны им. Таким образом, LMKN прямоугольник, подобный прямоугольнику ABCD. Что и требовалось доказать.
б) Без ограничения общности можно считать, что 
Имеем:
Отсюда 
Получаем, что 
Пусть AC = 10x, тогда: AB = 6x, BC = 8x и
AK = (AB + AC − BC) : 2 = 4x.
Окончательно получаем, что
Это и есть коэффициент подобия.
Ответ: б) 1 : 5.