PDF-версии: 
Площадь треугольника ABC равна 10, площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.
а) Доказать, что 
б) Найти площадь треугольника ABK.
Решение. а) Обозначим основание высоты, проведенной из точки С за F. Заметим теперь, что треугольники AFH и BFC подобны. Действительно, углы BCF и AHF равны
поэтому треугольники AFH и BFC подобны по двум углам. Из подобия следует равенство:
Теперь из прямоугольного треугольника AKB получаем: 
Отсюда
а, значит, 
Что и требовалось доказать.
б) Из п. а) следует, что 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |