а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро ко­то­ро­го равно 3, про­ве­де­но се­че­ние через вер­ши­ну B и се­ре­ди­ны ребер A₁D₁ и C₁D₁.

а)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью BCC₁.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся се­че­ние куба, а вер­ши­ной  — точка D.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Трей­дер по­тра­тил треть своих денег на при­об­ре­те­ние акций од­но­го ак­ци­о­нер­но­го об­ще­ства (АО), а осталь­ные день­ги  — на акции вто­ро­го АО. Спу­стя три ме­ся­ца цены акций обоих АО вы­рос­ли на опре­де­лен­ные для каж­до­го АО про­цен­ты, а еще через три ме­ся­ца цены акций вы­рос­ли на столь­ко же про­цен­тов, что и в преды­ду­щий пе­ри­од. В ре­зуль­та­те за пол­го­да общая сто­и­мость акций трей­де­ра вы­рос­ла на 98%. Если бы после пер­вых трех ме­ся­цев трей­дер про­дал все акции пер­во­го АО по новой цене и на все по­лу­чен­ные день­ги при­об­рел бы акции вто­ро­го АО, то общий при­рост ин­ве­сти­ций за пол­го­да со­ста­вил бы 110%. Какой про­цент при­бы­ли по­лу­чит трей­дер за пол­го­да, вло­жив всю сумму в акции пер­во­го АО?

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 10, пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHB, где H  — точка пе­ре­се­че­ния высот, равна 8. На пря­мой CH взята такая точка K, что тре­уголь­ник ABK  — пря­мо­уголь­ный.

а)  До­ка­зать, что

б)  Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

а)  При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 10 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

б)  Су­ще­ству­ет ли такое четырёхзнач­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 175 раз боль­ше суммы цифр этого числа?

в)  Най­ди­те все четырёхзнач­ные числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­рых в 50 раз боль­ше суммы цифр этого числа.