Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 622100
i

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 10, пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHB, где H  — точка пе­ре­се­че­ния высот, равна 8. На пря­мой CH взята такая точка K, что тре­уголь­ник ABK  — пря­мо­уголь­ный.

а)  До­ка­зать, что S в квад­ра­те _ABK=S_ABC умно­жить на S_AHB.

б)  Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим ос­но­ва­ние вы­со­ты, про­ве­ден­ной из точки С за F. За­ме­тим те­перь, что тре­уголь­ни­ки AFH и BFC по­доб­ны. Дей­стви­тель­но, углы BCF и AHF равны 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle B, по­это­му тре­уголь­ни­ки AFH и BFC по­доб­ны по двум углам. Из по­до­бия сле­ду­ет ра­вен­ство:

AF:FH=CF:FB рав­но­силь­но AF умно­жить на FB=FH умно­жить на CF.

Те­перь из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AKB по­лу­ча­ем: KF в квад­ра­те =AF умно­жить на FB. От­сю­да

KF в квад­ра­те =CF умно­жить на HF рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: KF умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: CF умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: HF умно­жить на AB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

а, зна­чит, левая круг­лая скоб­ка S_AKB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =S_ACB умно­жить на S_AHB. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что S_ABK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 умно­жить на 10 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 367
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025