РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 624925 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 377

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых три различных корня уравнения

$x в кубе плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 9a правая круглая скобка x в квадрате плюс 8ax минус 64=0$

образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

Решение. Если числа x₁, x₂, x₃ образуют геометрическую прогрессию, то $x_1 умножить на x_3=x_2 в квадрате .$ С другой стороны, если числа x₁, x₂, x₃ являются корнями кубического уравнения, то

$левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_3 правая круглая скобка =0 равносильно x в кубе минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1x_3 плюс x_2x_3 правая круглая скобка x минус x_1x_2x_3=0.$ $левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_3 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x в кубе минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1x_3 плюс x_2x_3 правая круглая скобка x минус x_1x_2x_3=0.$

Значит, исходное уравнение имеет три корня, образующих геометрическую прогрессию, только если $x_1x_2x_3=64,$ откуда $x_2 в кубе =64,$ то есть при $x_2=4.$

Найдём значения параметра a, при которых одним из корней исходного уравнения является $x=4:$

$4 в кубе плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 9a правая круглая скобка умножить на 4 в квадрате плюс 8a умножить на 4 минус 64=0 равносильно a в квадрате минус 7a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a=7. конец совокупности .$

При $a=0$ исходное уравнение принимает вид $x в кубе минус 64=0.$ Это уравнение имеет единственный корень $x=4.$

При $a=7$ исходное уравнение имеет три корня:

$x в кубе минус 14x в квадрате плюс 56x минус 64=0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 16 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2,x=4,x=8. конец совокупности .$ $x в кубе минус 14x в квадрате плюс 56x минус 64=0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 16 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2,x=4,x=8. конец совокупности .$ $x в кубе минус 14x в квадрате плюс 56x минус 64=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 16 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2,x=4,x=8. конец совокупности .$

Таким образом, исходное уравнение имеет три различных корня, которые образуют геометрическую прогрессию, только при $a=7.$ Этими корнями являются числа 2, 4 и 8.

Ответ: при $a=7;$ корни 2, 4, 8.

Примечание.

Читатель, знакомый с теоремой Виета для кубического уравнения, мог воспользоваться тем, что произведение корней уравнения $x в кубе плюс px в квадрате плюс qx плюс r = 0$ равно −r, и сразу получить, что $x_1x_2x_3=64.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной.	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ответ: при $a=7;$ корни 2, 4, 8.

624925

при $a=7;$ корни 2, 4, 8.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 377

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	624925	при $a=7;$ корни 2, 4, 8.