а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы PQRP₁Q₁R₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PQR с пря­мым углом R. Диа­го­на­ли бо­ко­вых гра­ней PP₁Q₁Q и PP₁R₁R равны 17 и 15 со­от­вет­ствен­но, PQ  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник P₁QR пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды P₁QRR₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Про­из­вод­ство x тысяч еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в мил­ли­о­нов руб­лей в год. При цене p тыс. руб. за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб­лей) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через шесть лет сум­мар­ная при­быль может со­ста­вить не менее 150 млн руб. при не­ко­то­ром зна­че­нии x?

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD c ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не AB как на диа­мет­ре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны CD и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке L, точка M  — се­ре­ди­на CD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник DLOM  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те AD, если BC  =  3.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых три раз­лич­ных корня урав­не­ния

об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Най­ди­те эти корни.

Трид­цать пять ша­ри­ков мас­сой 1 г, 2 г, ..., 35 г раз­ло­жи­ли по двум ко­роб­кам, в каж­дой ко­роб­ке на­хо­дит­ся хотя бы один шарик. Масса каж­до­го ша­ри­ка вы­ра­жа­ет­ся целым чис­лом грам­мов. Затем из вто­рой ко­роб­ки пе­ре­ло­жи­ли в первую один шарик. После этого сред­няя масса ша­ри­ков в пер­вой ко­роб­ке уве­ли­чи­лась на 4 г.

а)  Могло ли такое быть, если пер­во­на­чаль­но в пер­вой ко­роб­ке ле­жа­ли толь­ко ша­ри­ки мас­сой 3 г, 12 г и 27 г?

б)  Могла ли сред­няя масса ша­ри­ков в пер­вой ко­роб­ке пер­во­на­чаль­но рав­нять­ся 12,6 г?

в)  Какое наи­боль­шее число ша­ри­ков могло быть пер­во­на­чаль­но в пер­вой ко­роб­ке?