Тридцать пять шариков массой 1 г, 2 г, ..., 35 г разложили по двум коробкам, в каждой коробке находится хотя бы один шарик. Масса каждого шарика выражается целым числом граммов. Затем из второй коробки переложили в первую один шарик. После этого средняя масса шариков в первой коробке увеличилась на 4 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали только шарики массой 3 г, 12 г и 27 г?
б) Могла ли средняя масса шариков в первой коробке первоначально равняться 12,6 г?
в) Какое наибольшее число шариков могло быть первоначально в первой коробке?
а) Если раньше были только шарики 3, 12 и 27 граммов, то средняя их масса составляла 
граммов. После перекладывания средняя масса составила 18 граммов, то есть суммарная стала равна 
грамма. До перекладывания она была 42 грамма. Значит, нужно добавить шарик массой 30 граммов.
б) Пусть в коробке было x шариков, тогда их суммарная масса была 
то есть 
Поскольку масса целая, число x должно делиться 
откуда x + 1 тоже должно делиться
в) Пусть в коробке было x шариков средней массой n. Тогда суммарная масса была равна xn, а стала 
Значит, был добавлен шарик массой
откуда 
и 
поэтому 
Если бы шариков было 7, то их средняя масса была бы не меньше 
поэтому 
что невозможно. Для шести шариков есть пример: если были шарики массой 1, 2, 3, 4, 5, 9, то их средняя масса была равна 4, при этом если добавить шарик массой 32, средняя масса станет равна 8.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6.