РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тридцать пять шариков массой 1 г, 2 г, ..., 35 г разложили по двум коробкам, в каждой коробке находится хотя бы один шарик. Масса каждого шарика выражается целым числом граммов. Затем из второй коробки переложили в первую один шарик. После этого средняя масса шариков в первой коробке увеличилась на 4 г.

а)  Могло ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали только шарики массой 3 г, 12 г и 27 г?

б)  Могла ли средняя масса шариков в первой коробке первоначально равняться 12,6 г?

в)  Какое наибольшее число шариков могло быть первоначально в первой коробке?

Решение. а)  Если раньше были только шарики 3, 12 и 27 граммов, то средняя их масса составляла $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 3 плюс 12 плюс 27 правая круглая скобка =14$ граммов. После перекладывания средняя масса составила 18 граммов, то есть суммарная стала равна $18 умножить на 4=72$ грамма. До перекладывания она была 42 грамма. Значит, нужно добавить шарик массой 30 граммов.

б)  Пусть в коробке было x шариков, тогда их суммарная масса была $12,6x,$ то есть $дробь: числитель: 63x, знаменатель: 5 конец дроби .$ Поскольку масса целая, число x должно делиться на 5. Однако после добавления еще одного шарика масса должна получиться $16,6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 83 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 5 конец дроби ,$ откуда x + 1 тоже должно делиться на 5. Но два последовательных числа не могут одновременно делиться на 5.

в)  Пусть в коробке было x шариков средней массой n. Тогда суммарная масса была равна xn, а стала $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка .$ Значит, был добавлен шарик массой

$левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 4 правая круглая скобка минус xn=n плюс 4x плюс 4 меньше или равно 35,$

откуда $n плюс 4x меньше или равно 31$ и $x меньше дробь: числитель: 31, знаменатель: 4 конец дроби ,$ поэтому $x меньше или равно 7.$

Если бы шариков было 7, то их средняя масса была бы не меньше $дробь: числитель: 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5 плюс 6 плюс 7, знаменатель: 7 конец дроби =4,$ поэтому $n плюс 4x=4 плюс 4 умножить на 7=32 больше 31,$ что невозможно. Для шести шариков есть пример: если были шарики массой 1, 2, 3, 4, 5, 9, то их средняя масса была равна 4, при этом если добавить шарик массой 32, средняя масса станет равна 8.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	624926	а)  да; б)  нет; в)  6.

Ключ