Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 624925
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых три раз­лич­ных корня урав­не­ния

x в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 9a пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 8ax минус 64=0

об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Най­ди­те эти корни.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если числа x1, x2, x3 об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, то x_1 умно­жить на x_3=x_2 в квад­ра­те . С дру­гой сто­ро­ны, если числа x1, x2, x3 яв­ля­ют­ся кор­ня­ми ку­би­че­ско­го урав­не­ния, то

левая круг­лая скоб­ка x минус x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка x_1 плюс x_2 плюс x_3 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x_1x_2 плюс x_1x_3 плюс x_2x_3 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус x_1x_2x_3=0.

Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет три корня, об­ра­зу­ю­щих гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, толь­ко если x_1x_2x_3=64, от­ку­да x_2 в кубе =64, то есть при x_2=4.

Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых одним из кор­ней ис­ход­но­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся x=4:

4 в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 9a пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 4 в квад­ра­те плюс 8a умно­жить на 4 минус 64=0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 7a=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a=0,a=7. конец со­во­куп­но­сти .

При a=0 ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид x в кубе минус 64=0. Это урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень x=4.

При a=7 ис­ход­ное урав­не­ние имеет три корня:

x в кубе минус 14x в квад­ра­те плюс 56x минус 64=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 10x плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=4,x=8. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет три раз­лич­ных корня, ко­то­рые об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, толь­ко при a=7. Этими кор­ня­ми яв­ля­ют­ся числа 2, 4 и 8.

 

Ответ: при a=7; корни 2, 4, 8.

 

При­ме­ча­ние.

Чи­та­тель, зна­ко­мый с тео­ре­мой Виета для ку­би­че­ско­го урав­не­ния, мог вос­поль­зо­вать­ся тем, что про­из­ве­де­ние кор­ней урав­не­ния x в кубе плюс px в квад­ра­те плюс qx плюс r = 0 равно −r, и сразу по­лу­чить, что x_1x_2x_3=64.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной.2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 377
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025