PDF-версии: 
Основанием прямой призмы ABCDА1B1C1D1 является ромб с тупым углом B, равным 120°. Все ребра этой призмы равны 10. Точки P и K — середины ребер CC1 и CD соответственно.
а) Докажите, что прямые PK и PB1 взаимно перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями PKB1 и C1B1B.
Решение. а) Вычислим стороны треугольника B1PK:
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник B1PK — прямоугольный, а значит, прямые PK и PB1 взаимно перпендикулярны.
б) Заметим, что B1P — линия пересечения плоскостей PKB1 и C1B1B. Из п. а), прямые PK и PB1 перпендикулярны, в плоскости C1B1B из точки P восстановим перпендикуляр к прямой B1P, пусть он пересекает B1C1 в точке Q. Тогда KPQ — линейный угол одного из двугранных углов, образованных пересечением плоскостей PKB и C1B1B. Найдём его. Треугольники B1PC, PC1Q и B1PQ — подобны, следовательно,
Тогда получаем:
Следовательно, угол между плоскостями PKB1 и C1B1B равен 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |