а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDА₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся ромб с тупым углом B, рав­ным 120°. Все ребра этой приз­мы равны 10. Точки P и K  — се­ре­ди­ны ребер CC₁ и CD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые PK и PB₁ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми PKB₁ и C₁B₁B.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пен­си­о­нер­ка по­ло­жи­ла не­ко­то­рую сумму на счет в банке на пол­го­да. По этому вкла­ду уста­нов­лен «пла­ва­ю­щий» про­цент, то есть число на­чис­лен­ных про­цен­тов за­ви­сит от числа пол­ных ме­ся­цев на­хож­де­ния вкла­да на счете. В таб­ли­це пред­став­ле­ны усло­вия на­чис­ле­ния про­цен­тов.

Какой про­цент от суммы пер­во­на­чаль­но­го вкла­да со­став­ля­ет сумма, на­чис­лен­ная бан­ком в ка­че­стве про­цен­тов, если каж­дый месяц, за ис­клю­че­ни­ем по­след­не­го, после на­чис­ле­ния про­цен­тов бан­ком она до­бав­ля­ет на счет такую сумму, чтобы за месяц вклад уве­ли­чил­ся на 10% от пер­во­на­чаль­но­го вкла­да?

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁  — вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с углом 45° при вер­ши­не C.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник A₁B₁C₁ пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром вы­со­та АА₁ делит от­ре­зок В₁С₁, если BC  =  2B₁C₁.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет че­ты­ре корня.

В те­че­ние n дней еже­днев­но на доску за­пи­сы­ва­ют на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 5. При этом каж­дый день (кроме пер­во­го) сумма чисел, за­пи­сан­ных на доску в этот день, боль­ше, а ко­ли­че­ство  — мень­ше, чем в преды­ду­щий день.

а)  Может ли n быть боль­ше 4?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, быть мень­ше 2, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных за все дни, быть боль­ше 3?

в)  Из­вест­но, что сумма чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 5. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма всех чисел за все дни?