а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на реб­рах AB и D₁C₁ от­ме­че­ны точки M и N, такие, что D₁N : NC₁  =  BM : MA  =  1 : 3, точка O  — центр грани  BCC₁B₁. Через точки A₁ и O про­хо­дит плос­кость α па­рал­лель­но пря­мой MN и со­став­ля­ет с плос­ко­стя­ми ABC, BB₁C и DCC₁ оди­на­ко­вые углы.

а)  До­ка­жи­те, что сто­ро­ны па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ от­но­сят­ся как 3 : 4 : 5.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью α, если ребра па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны 3, 4, 5.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пен­си­о­нер­ка по­ло­жи­ла не­ко­то­рую сумму на счет в банке на пол­го­да. По этому вкла­ду уста­нов­лен «пла­ва­ю­щий» про­цент, то есть число на­чис­лен­ных про­цен­тов за­ви­сит от числа пол­ных ме­ся­цев на­хож­де­ния вкла­да на счете. В таб­ли­це пред­став­ле­ны усло­вия на­чис­ле­ния про­цен­тов.

Какой про­цент от суммы пер­во­на­чаль­но­го вкла­да со­став­ля­ет сумма, на­чис­лен­ная бан­ком в ка­че­стве про­цен­тов, если каж­дый месяц, за ис­клю­че­ни­ем по­след­не­го, после на­чис­ле­ния про­цен­тов бан­ком она до­бав­ля­ет на счет такую сумму, чтобы за месяц вклад уве­ли­чил­ся на 10% от пер­во­на­чаль­но­го вкла­да?

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD на сто­ро­не AD от­ме­че­на точка N так, что в че­ты­рех­уголь­ник BCDN можно впи­сать окруж­ность. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, опу­щен­ные из вер­ши­ны C, делят угол BCD на три рав­ные части.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник BCDN, если AC  =  2.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми и боль­ше 6, но не боль­ше 12.

Дано че­ты­рех­знач­ное число где a, b, c и d  — со­от­вет­ствен­но цифры раз­ря­дов тысяч, сотен, де­сят­ков и еди­ниц, причём

а)  Может ли про­из­ве­де­ние цифр этого числа быть боль­ше суммы цифр этого числа в 3 раза?

б)  Цифры a, b, c и d по­пар­но раз­лич­ны. Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных чисел таких, что про­из­ве­де­ние цифр мень­ше суммы цифр?

в)  Из­вест­но, что где k  — дву­знач­ное число. При каком наи­мень­шем зна­че­нии число k будет наи­боль­шим?