Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 672196
i

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD на сто­ро­не AD от­ме­че­на точка N так, что в че­ты­рех­уголь­ник BCDN можно впи­сать окруж­ность. Из­вест­но, что дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = ко­рень из 2 , дробь: чис­ли­тель: DN, зна­ме­на­тель: AN конец дроби = 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из 2 конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­ты па­рал­ле­ло­грам­ма, опу­щен­ные из вер­ши­ны C, делят угол BCD на три рав­ные части.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в че­ты­рех­уголь­ник BCDN, если AC  =  2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AN = 4x, тогда имеем:

DN = 4x левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 4x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x,

AD = BC = 8x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x,

AB = CD = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x плюс 3x.

В че­ты­рех­уголь­ник BCDN впи­са­на окруж­ность. Сле­до­ва­тель­но,

BN = BC плюс DN минус CD = 8x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x плюс 4x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x минус 3x = 9x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABN:

ко­си­нус \angle A = дробь: чис­ли­тель: AN в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те минус BN в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2AN умно­жить на AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 41 плюс 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 89 плюс 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 24 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 32 минус 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 24 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да по­лу­ча­ем \angle A = \angle C = 135 гра­ду­сов. Тогда \angle B = \angle D = 45 гра­ду­сов, от­ку­да сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

 

б)  Пусть CH  — вы­со­та, про­ве­ден­ная к сто­ро­не AD. Тогда CH  — диа­метр ис­ко­мой окруж­но­сти. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ACD:

4 = AC в квад­ра­те = x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 41 плюс 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 82 плюс 48 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =
= x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 123 плюс 72 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 48 плюс 41 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 41 плюс 24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да x = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3 конец дроби . В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CHD:

CH = CD умно­жить на синус 45 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс 3 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ра­ди­ус окруж­но­сти равен по­ло­ви­не диа­мет­ра, зна­чит, R = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 482
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, впи­сан­ная в че­ты­рех­уголь­ник
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025