ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 672199 Добавить в вариант

Дано четырехзначное число $\overlineabcd,$ где a, b, c и d  — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a не равно q 0.$

а)  Может ли произведение цифр этого числа быть больше суммы цифр этого числа в 3 раза?

б)  Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overlineabcd$ таких, что произведение цифр меньше суммы цифр?

в)  Известно, что $a умножить на b умножить на c умножить на d = k левая круглая скобка a плюс b плюс c плюс d правая круглая скобка ,$ где k  — двузначное число. При каком наименьшем значении $\overlineabcd$ число k будет наибольшим?

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например, число 1236 удовлетворяет условиям задачи.

б)  Во-первых, подходит любое число с нулем в записи. Можно тремя способами выбрать место для этого нуля, потом девятью способами выбрать первую цифру, восьмью и семью  — остальные две. Итак, таких чисел $3 умножить на 9 умножить на 8 умножить на 7 = 1512.$ Другие варианты не подходят. В самом деле, пусть $0 меньше a меньше b меньше c меньше d.$ Тогда

$a плюс b плюс c плюс d меньше 4d меньше 6d = 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на d меньше или равно a умножить на b умножить на c умножить на d.$

От порядка цифр это неравенство не зависит.

в)  Будем искать подходящий набор цифр и упорядочим потом цифры по возрастанию. Ни одна из цифр не может быть равна нулю. Ясно, что $k не равно 99,$ поскольку $a умножить на b умножить на c умножить на d$ не может быть кратно 11. Если k  =  98, то две цифры в числе должны быть семерками. Пусть c  =  d  =  7, тогда

$a умножить на b умножить на 7 умножить на 7 = 98 левая круглая скобка a плюс b плюс 7 плюс 7 правая круглая скобка равносильно ab = 2 левая круглая скобка a плюс b плюс 14 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно ab минус 2a минус 2b = 28 равносильно ab минус 2a минус 2b плюс 4 = 32, равносильно левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка = 32.$ $a умножить на b умножить на 7 умножить на 7 = 98 левая круглая скобка a плюс b плюс 7 плюс 7 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно ab = 2 левая круглая скобка a плюс b плюс 14 правая круглая скобка равносильно ab минус 2a минус 2b = 28 равносильно$
$равносильно ab минус 2a минус 2b плюс 4 = 32, равносильно левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка = 32.$

Значит, одно из чисел a – 2 и b – 2 не меньше 8, то есть a или b  — не цифры.

Если k  =  97, то $a умножить на b умножить на c умножить на d$ должно быть кратно 97, что невозможно.

Если k  =  96, то

$a умножить на b умножить на c умножить на d = 96 левая круглая скобка a плюс b плюс c плюс d правая круглая скобка ,$

значит одна из цифр кратна 3, то есть равна или 3, или 6 или 9. Рассмотрим эти случаи.

Пусть d  =  3, значит,

$a умножить на b умножить на c = 32 левая круглая скобка a плюс b плюс c плюс 3 правая круглая скобка ,$

тогда хотя бы одна из оставшихся цифр кратна 4, то есть равна или 4, или 8. Если c  =  4, то $a умножить на b = 8 левая круглая скобка a плюс b плюс 7 правая круглая скобка ,$ тогда одна из оставшихся цифр тоже кратна 4. Если b  =  4, то $a = 2 левая круглая скобка a плюс 11 правая круглая скобка ,$ что невозможно. Если b  =  8, то $a = a плюс 15,$ что тоже невозможно. Если c  =  8, то $a умножить на b = 4 левая круглая скобка a плюс b плюс 11 правая круглая скобка ,$ тогда одна из оставшихся цифр кратна 2. Если b  =  2, то $a = 2 левая круглая скобка a плюс 13 правая круглая скобка ,$ что невозможно. Если b  =  4, то $a = a плюс 15$   — невозможно. Если b  =  8, то $2a = a плюс 19,$ что тоже невозможно. Значит, среди цифр числа $\overlineabcd$ нет цифры 3.

Пусть d  =  6, значит,

$a умножить на b умножить на c = 16 левая круглая скобка a плюс b плюс c плюс 6 правая круглая скобка ,$

тогда хотя бы одна из оставшихся цифр кратна 4, то есть равна или 4, или 8. Если c  =  4, то $a умножить на b = 4 левая круглая скобка a плюс b плюс 10 правая круглая скобка ,$ тогда одна из оставшихся цифр кратна 2. Если b  =  2, то $a = 2 левая круглая скобка a плюс 12 правая круглая скобка ,$ что невозможно. Если b  =  4, то $a = a плюс 14,$ что тоже невозможно. Если c  =  8, то $a умножить на b = 2 левая круглая скобка a плюс b плюс 14 правая круглая скобка ,$ тогда одна из оставшихся цифр кратна 2. Если b  =  2, то $a = a плюс 16,$ что невозможно. Если b  =  4, то $2a = a плюс 18$   — невозможно. Если b  =  8, то $4a = a плюс 22,$ что тоже невозможно. Значит, среди цифр числа $\overlineabcd$ нет цифры 6.

Пусть d  =  9, значит,

$3a умножить на b умножить на с = 32 левая круглая скобка a плюс b плюс c плюс 9 правая круглая скобка ,$

тогда хотя бы одна из оставшихся цифр кратна 4, то есть равна или 4, или 8. Если c  =  4, то $3a умножить на b = 8 левая круглая скобка a плюс b плюс 13 правая круглая скобка ,$ тогда одна из оставшихся цифр тоже кратна 4. Если b  =  4, то $3a = 2 левая круглая скобка a плюс 17 правая круглая скобка ,$ что невозможно. Если b  =  8, то $3a = a плюс 21,$ что тоже невозможно. Если c  =  8, то $3a умножить на b = 4 левая круглая скобка a плюс b плюс 17 правая круглая скобка ,$ тогда одна из оставшихся цифр кратна 2. Если b  =  2, то $a = a плюс 16,$ что невозможно. Если b  =  4, то $2a = a плюс 18$   — невозможно. Если b  =  8, то $6a = a плюс 25 равносильно a=5.$ Значит, единственный возможный набор цифр это 9, 8, 8 и 5. Наименьшее число, составленное из этих цифр,  — число 5889.

Ответ: а)  да, б)  1512, в)  5889.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 482

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь