PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра BC = 5 и AB = AA1 = 8, M и N — середины ребер
а) Докажите, что прямая DN параллельна плоскости α.
б) Найдите расстояние между прямыми C1D и BD1.
Решение. а) Пусть L — точка пересечения прямых BM и AD, K — точка пересечения плоскости α с ребром DD1. Заметим, что треугольники BCM и LDM равны, следовательно, LD = BC = AD = 5. Прямая CD1 параллельна плоскости α и прямой MK, поэтому прямая MK — средняя линия треугольника CDD1, а K — середина DD1. Таким образом, DK = AN, а треугольники LKD и DAN равны, и углы KLD и NDK равны, следовательно, прямые LK и DN параллельны, и плоскость α параллельна прямой DN.
б) Заметим, что прямые CD1 и C1D взаимно перпендикулярны, прямые A1D1 и C1D также взаимно перпендикулярны, следовательно, прямая C1D перпендикулярна плоскости BCD1A1. Пусть O — точка пересечения CD1 и C1D, в плоскости BCD1A1 на прямую BD1 опустим перпендикуляр OH, его длина и есть искомое расстояние. Имеем:
Треугольники CBD1 и HOD1 подобны, следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |