а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны ребра BC  =  5 и AB  =  AA₁  =  8, M и N  — се­ре­ди­ны ребер CD и АА₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и B и па­рал­лель­на пря­мой CD₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая DN па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми C₁D и BD₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2022 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рую сумму сро­ком на 5 лет. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  в ян­ва­ре долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вне­сти еди­ным пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2023, 2024 годов долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга июля преды­ду­ще­го года;

—  в июле 2024 года долг со­став­ля­ет 80% от пер­во­на­чаль­ной суммы кре­ди­та;

—  вы­пла­ты в 2025 и 2026 годах равны по 202 тыс. руб­лей;

—  долг в июле 2026 года со­став­ля­ет 20% от суммы долга на июль 2024 года;

—  в июле 2027 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Опре­де­ли­те, чему равна общая сумма вы­плат.

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD угол BCD  — тупой. Через точку B про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой CD и пе­ре­се­ка­ю­щая пря­мую AD в точке E. На про­дол­же­нии BE за точку E от­ме­че­на точка F такая, что DE  =  DF.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, F, C и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до пря­мой AF, если BD  =  10 и

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Со­ста­вим две по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел {a_n} и {b_n}:

a₁  =  1, (n > 1), где p  — наи­мень­ший про­стой де­ли­тель числа n;

b₁  =  1, b_n (n > 1)  — ко­ли­че­ство таких чисел m, для ко­то­рых a_m  =  n. Оно по­ка­зы­ва­ет, сколь­ко раз число n встре­ча­ет­ся в по­сле­до­ва­тель­но­сти {a_n}.

а)  Най­ди­те b₁₈₇.

б)   Для каких чисел n > 1 и m > 1 вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство b_n  =  b_m?

в)  Чему равно b_m, если ?