РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 629503 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: синус 2x умножить на косинус 2x плюс 2 синус 2x, знаменатель: логарифм по основанию 4 левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби =0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Выражение $косинус x плюс 1$ положительно и отлично от единицы при условиях $косинус x не равно минус 1,$ $косинус x не равно 0.$ При этих условиях уравнение эквивалентно следующим:

$синус 2x умножить на косинус 2x плюс 2 синус 2x=0 равносильно синус 2x левая круглая скобка косинус 2x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно синус 2x=0 равносильно 2x= Пи k, k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$ $синус 2x умножить на косинус 2x плюс 2 синус 2x=0 равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка косинус 2x плюс 2 правая круглая скобка =0 равносильно синус 2x=0 равносильно$
$равносильно 2x= Пи k, k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .$

При $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k$ и $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k$ получим $косинус x=0,$ что не удовлетворяет условию. При $x= Пи плюс 2 Пи k$ получим $косинус x= минус 1,$ что также не удовлетворяет условию. Следовательно, условию эквивалентности удовлетворяет только $x=2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$минус 3 Пи меньше или равно 2 Пи k меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус 3 меньше или равно 2k меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = минус 1.$

При найденном значении k находим: $x= минус 2 Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: а) $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи .$

629503

а) $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394

Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	629503	а) $левая фигурная скобка 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи .$