а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, сто­ро­на AB ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 32, а бо­ко­вое ребро BB₁ равно На рёбрах AB и В₁C₁ от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но, причём AK  =  2, B₁L  =  28. Точка М  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость γ про­хо­дит через точки K и L и па­рал­лель­на пря­мой AC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость γ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MB.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка M, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2023 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 800 тысяч руб­лей на 8 лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь с 2024 по 2027 год долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  каж­дый ян­варь с 2028 по 2031 год долг воз­рас­та­ет на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2031 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те r, если общая сумма вы­плат по кре­ди­ту долж­на со­ста­вить 1444 тысяч руб­лей.

В рав­но­бед­рен­ном ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на про­дол­же­ние бо­ко­вой сто­ро­ны BC опу­ще­на вы­со­та AH. Из точки H на сто­ро­ну AB и ос­но­ва­ние AC опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AM и MK равны.

б)  Най­ди­те MK, если AB  =  5, AC  =  8.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма:

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Возь­мем три любые (не обя­за­тель­но раз­лич­ные) цифры a, b, c, от­лич­ные от 0, и все­воз­мож­ны­ми пе­ре­ста­нов­ка­ми со­ста­вим шесть трех­знач­ных чисел Сумму этих чисел обо­зна­чим

а)  Может ли рав­нять­ся 1754 при каких‐либо зна­че­ни­ях a, b, c?

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных зна­че­ний ?

в)  Сколь­ко трех­знач­ных чисел сов­па­да­ют со сред­ним ариф­ме­ти­че­ским чисел ?