Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 629507
i

В рав­но­бед­рен­ном ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на про­дол­же­ние бо­ко­вой сто­ро­ны BC опу­ще­на вы­со­та AH. Из точки H на сто­ро­ну AB и ос­но­ва­ние AC опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AM и MK равны.

б)  Най­ди­те MK, если AB  =  5, AC  =  8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Тре­уголь­ни­ки AMH и AKH  — пря­мо­уголь­ные, с общей ги­по­те­ну­зой АН. Зна­чит, точки А, М, К, Н лежат на одной окруж­но­сти, центр ко­то­рой  — се­ре­ди­на АН. Пусть \angle BCA=\angle AHM= альфа . Тогда \angle ABH=\angle AHK=2 альфа . От­сю­да

\angle AHM=\angle MHK=\angle MAK=\angle MKA,

Тогда тре­уголь­ник AMK рав­но­бед­рен­ный и AM  =  MK. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Рис. 1

Рис. 2

б)  Из тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­ча­ем, что ко­си­нус \angle BCA= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Зна­чит, синус \angle BCA= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Тогда

HA=8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

MK=AM=HA умно­жить на синус \angle AHM= дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 394
Методы геометрии: Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025