РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 629507 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Треугольники

Планиметрическая задача. Вписанные окружности и четырехугольники

В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

а)  Докажите, что отрезки AM и MK равны.

б)  Найдите MK, если AB  =  5, AC  =  8.

Решение. а)  Треугольники AMH и AKH  — прямоугольные, с общей гипотенузой АН. Значит, точки А, М, К, Н лежат на одной окружности, центр которой  — середина АН. Пусть $\angle BCA=\angle AHM= альфа .$ Тогда $\angle ABH=\angle AHK=2 альфа .$ Отсюда

$\angle AHM=\angle MHK=\angle MAK=\angle MKA,$

Тогда треугольник AMK равнобедренный и AM  =  MK. Что и требовалось доказать.

Рис. 1

Рис. 2

б)  Из треугольника ABC получаем, что $косинус \angle BCA= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$ Значит, $синус \angle BCA= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби .$ Тогда

$HA=8 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби ,$

$MK=AM=HA умножить на синус \angle AHM= дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: 25 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 72, знаменатель: 25 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $дробь: числитель: 72, знаменатель: 25 конец дроби .$

629507

б) $дробь: числитель: 72, знаменатель: 25 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394

Методы геометрии: Тригонометрия в геометрии

Классификатор планиметрии: Треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	629507	б) $дробь: числитель: 72, знаменатель: 25 конец дроби .$