ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 629505 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 5x в квадрате правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате x минус 9 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка 25x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 5x в квадрате правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате x минус 9 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка 25x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 5x в квадрате правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x плюс 9 логарифм по основанию 5 x плюс 2, знаменатель: минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 25x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 плюс 2 логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x плюс 9 логарифм по основанию 5 x плюс 2, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 5 x конец дроби \leqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 5x в квадрате правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате x минус 9 логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка x плюс 2, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка 25x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 в квадрате левая круглая скобка 5x в квадрате правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x плюс 9 логарифм по основанию 5 x плюс 2, знаменатель: минус логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 25x правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 плюс 2 логарифм по основанию 5 x правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 5 в квадрате x плюс 9 логарифм по основанию 5 x плюс 2, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 5 x конец дроби \leqslant0.$

Пусть $t= логарифм по основанию 5 x,$ тогда

$левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 9t плюс 2, знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 9t плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4t в кубе плюс 10t в квадрате , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате левая круглая скобка 2t плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 2,5 меньше или равно t меньше минус 2,t=0. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 9t плюс 2, знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 9t плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 4t в кубе плюс 10t в квадрате , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате левая круглая скобка 2t плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 2,5 меньше или равно t меньше минус 2,t=0. конец совокупности .$ $левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате минус дробь: числитель: 2t в квадрате плюс 9t плюс 2, знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс 2t правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2t в квадрате плюс 9t плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4t в кубе плюс 10t в квадрате , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате левая круглая скобка 2t плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: 2 плюс t конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений минус 2,5 меньше или равно t меньше минус 2,t=0. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений минус 2,5 меньше или равно логарифм по основанию 5 x меньше минус 2, логарифм по основанию 5 x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 корень из 5 конец дроби меньше или равно x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби ,x=1. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 корень из 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 394

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Разложение на множители, Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь