РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 632653 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 397

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Планиметрическая задача. Окружности и системы окружностей

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая вторично первую из окружностей в точке  A, а вторую  — в точке  B. Через точку Q также проведена прямая, пересекающая вторично первую окружность в точке C, а вторую  — в точке D.

а)  Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

б)  Найдите наибольшее возможное значение суммы длин отрезков AB и CD, если расстояние между центрами данных окружностей равно 1.

Решение. а)  Проведём прямую PQ. Четырёхугольник APQC вписан в окружность (см. левый рис), следовательно,

$\angle ACQ=180 градусов минус \angle APQ=\angle BPQ.$

Четырёхугольник BPQC вписан в окружность, значит,

$\angle BDQ=180 градусов минус \angle BPQ=180 градусов минус \angle ACQ.$

Следовательно, прямые AC и BD параллельны по признаку параллельности прямых.

Рассмотрим второй случай, когда отрезки AB и CD пересекаются (см. правый рис.). Тогда

$\angle CAP=\angle CQP=180 градусов минус \angle PQD=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle PBD правая круглая скобка =\angle PBD.$

Значит, прямые AC и BD параллельны по признаку параллельных прямых.

б)  Пусть точки O₁ и O₂  — центры окружностей, а прямые O₁M и O₂N  — перпендикуляры, проведённые из O₁ и O₂ к прямой AB. Точка M  — середина отрезка AP, точка N  — середина отрезка PB, значит, $MN= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби .$ Заметим, что отрезок MN  — проекция отрезка O₁O₂ на прямую AB, следовательно, $MN меньше или равно O_1O_2,$ откуда $AB меньше или равно 2.$ Аналогично $CD меньше или равно 2.$ Значит, $AB плюс CD\leqslant4.$ Равенство достигается в случае, когда прямые AB и PQ взаимно перпендикулярны и прямые CD и PQ взаимно перпендикулярны.

Ответ: б) 4.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 4.

632653

б) 4.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 397

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	632653	б) 4.