а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро SA  =  7. Точка M лежит на ребре BC, при­чем BM  =  1, точка K лежит на ребре SC, при­чем SK  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды CDKM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на три года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  пла­те­жи в 2027 и в 2028 годах долж­ны быть по 300 тыс. руб.;

—  к июлю 2029 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что платёж в 2029 году будет равен 417,6 тыс. руб. Какую сумму (в тыс. руб.) пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит?

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Через точку P про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая вто­рич­но первую из окруж­но­стей в точке  A, а вто­рую  — в точке  B. Через точку Q также про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая вто­рич­но первую окруж­ность в точке C, а вто­рую  — в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC и BD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы длин от­рез­ков AB и CD, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми дан­ных окруж­но­стей равно 1.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Из­да­тель­ство на вы­став­ку при­вез­ло не­сколь­ко книг для про­да­жи (каж­дую книгу при­вез­ли в един­ствен­ном эк­зем­пля­ре). Цена каж­дой книги  — целое число руб­лей. Если цена книги мень­ше 100 руб., на неё при­кле­и­ва­ют бирку «вы­год­но». Од­на­ко до от­кры­тия вы­став­ки цену каж­дой книги уве­ли­чи­ли на 10 руб., из‐⁠за чего ко­ли­че­ство книг с бир­ка­ми «вы­год­но» умень­ши­лось.

а)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг с бир­кой «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

б)  Могла ли умень­шить­ся сред­няя цена книг без бирки «вы­год­но» после от­кры­тия вы­став­ки по срав­не­нию со сред­ней ценой книг без бирки «вы­год­но» до от­кры­тия вы­став­ки?

в)  Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­няя цена всех книг со­став­ля­ла 110 руб., сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­став­ля­ла 81 руб., а сред­няя цена книг без бирки  — 226 руб. После уве­ли­че­ния цены сред­няя цена книг с бир­кой «вы­год­но» со­ста­ви­ла 90 руб., а сред­няя цена книг без бирки  — 210 руб. При каком наи­мень­шем ко­ли­че­стве книг такое воз­мож­но?