В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.
а) Докажите, что плоскость MKD перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.
а) Пусть O — центр основания пирамиды, L — точка пересечения прямых CO и DM, P — точка пересечения прямых CO и DB. Заметим, что DP = PB, CP = PO, CM = 3, CK = 3. Применим теорему Менелая для треугольника BCP и прямой DM:
Тогда
следовательно, прямые KL и SO параллельны, а прямая KL перпендикулярна плоскости BCD, а значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости MDK и BCD перпендикулярны.
б) Из п. а) получаем, что треугольники CKL и CSO подобны. Далее имеем:
Ответ: б) 