Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая вторично первую из окружностей в точке A, а вторую — в точке B. Через точку Q также проведена прямая, пересекающая вторично первую окружность в точке C, а вторую — в точке D.
а) Докажите, что прямые AC и BD параллельны.
б) Найдите наибольшее возможное значение суммы длин отрезков AB и CD, если расстояние между центрами данных окружностей равно 1.
а) Проведём прямую PQ. Четырёхугольник APQC вписан в окружность
Четырёхугольник BPQC вписан в окружность, значит,
Следовательно, прямые AC и BD параллельны по признаку параллельности прямых.
Рассмотрим второй случай, когда отрезки AB и CD пересекаются
Значит, прямые AC и BD параллельны по признаку параллельных прямых.
б) Пусть точки O1 и O2 — центры окружностей, а прямые O1M и O2N — перпендикуляры, проведённые из O1 и O2 к прямой AB. Точка M — середина отрезка AP, точка N — середина отрезка PB, значит, 
Заметим, что отрезок MN — проекция отрезка O1O2 на прямую AB, следовательно, 
откуда 
Аналогично 
Значит, 
Равенство достигается в случае, когда прямые AB и PQ взаимно перпендикулярны и прямые CD и PQ взаимно перпендикулярны.
Ответ: б) 4.