РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 633181 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 400

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы понижения степени

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка синус 2 x= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Решим уравнение, применив к правой части формулу $синус в квадрате x= дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби :$

$левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка умножить на синус 2 x= корень из 3 умножить на синус в квадрате x равносильно левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка умножить на синус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений 1 минус косинус 2x=0, синус 2x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x=2 Пи k,2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка умножить на синус 2 x= корень из 3 умножить на синус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка умножить на синус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений 1 минус косинус 2x=0, синус 2x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x=2 Пи k,2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка умножить на синус 2 x= корень из 3 умножить на синус в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 минус косинус 2 x правая круглая скобка умножить на синус 2 x= дробь: числитель: корень из 3 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно совокупность выражений 1 минус косинус 2x=0, синус 2x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x=2 Пи k,2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k , конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности. Получим числа $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

633181

а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 400

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы понижения степени

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	633181	а) $левая фигурная скобка Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ 0, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$