РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 633182 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 400

Сложная стереометрия. Многогранники

На ребре CD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка R так, что DR  =  10. Ребро куба равно 30. На ребре B₁C₁ отмечена точка L так, что $B_1 L =15.$ Плоскость ALR пересекает ребро CC₁ в точке Q.

а)  Докажите, что $CQ : QC_1=4: 1$

б)  Найдите расстояние от точки С до плоскости ALR.

Решение. а) Пусть S  — точка пересечения прямых AR и BC. Тогда прямая LQ также проходит через точку S, так как лежит в плоскости ALR и C₁L  =  B₁L  =  15. Треугольники ADR и SCR подобны, следовательно,

$дробь: числитель: SC, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: RC, знаменатель: RD конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби ,$

откуда $SC =2AD = 60.$ Треугольники LC₁Q и SCQ также подобны, поэтому

$дробь: числитель: CQ, знаменатель: QC_1 конец дроби = дробь: числитель: SC, знаменатель: C_1L конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 1 конец дроби .$

б)  Из п. а) следует, что CQ  =  24, CR  =  20 и

$V_CRSQ = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби CR умножить на CQ умножить на CS= 4800.$

С другой стороны,

$V_CQRS= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_QRS умножить на d левая круглая скобка C, QRS правая круглая скобка .$

Следовательно,

$RS= корень из: начало аргумента: CR в квадрате плюс CS в квадрате конец аргумента = 20 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ $QS= корень из: начало аргумента: CQ в квадрате плюс CS в квадрате конец аргумента = 12 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента ,$ $RQ= корень из: начало аргумента: CR в квадрате плюс CQ в квадрате конец аргумента = 4 корень из: начало аргумента: 61 конец аргумента .$

Вычисляя площадь треугольника QRS по формуле Герона, находим: $S_QRS= 120 корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$ Тогда

$d левая круглая скобка C,ALR правая круглая скобка = d левая круглая скобка C, QRS правая круглая скобка = дробь: числитель: 3V_CQRS, знаменатель: S_QRS конец дроби = дробь: числитель: 120, знаменатель: корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: б) $d левая круглая скобка C,ALR правая круглая скобка = дробь: числитель: 120, знаменатель: корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

633182

б) $d левая круглая скобка C,ALR правая круглая скобка = дробь: числитель: 120, знаменатель: корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 400

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	633182	б) $d левая круглая скобка C,ALR правая круглая скобка = дробь: числитель: 120, знаменатель: корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента конец дроби .$