Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 633182
i

На ребре CD куба ABCDA1B1C1D1 от­ме­че­на точка R так, что DR  =  10. Ребро куба равно 30. На ребре B1C1 от­ме­че­на точка L так, что B_1 L =15. Плос­кость ALR пе­ре­се­ка­ет ребро CC1 в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что CQ : QC_1=4: 1

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти ALR.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а) Пусть S  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых AR и BC. Тогда пря­мая LQ также про­хо­дит через точку S, так как лежит в плос­ко­сти ALR и C1L  =  B1L  =  15. Тре­уголь­ни­ки ADR и SCR по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: SC, зна­ме­на­тель: AD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: RC, зна­ме­на­тель: RD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби ,

от­ку­да SC =2AD = 60. Тре­уголь­ни­ки LC1Q и SCQ также по­доб­ны, по­это­му

дробь: чис­ли­тель: CQ, зна­ме­на­тель: QC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: SC, зна­ме­на­тель: C_1L конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби .

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что CQ  =  24, CR  =  20 и

V_CRSQ = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби CR умно­жить на CQ умно­жить на CS= 4800.

С дру­гой сто­ро­ны,

V_CQRS= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_QRS умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка C, QRS пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но,

RS= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CR в квад­ра­те плюс CS в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , QS= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CQ в квад­ра­те плюс CS в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , RQ= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CR в квад­ра­те плюс CQ в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 61 конец ар­гу­мен­та .

 

Вы­чис­ляя пло­щадь тре­уголь­ни­ка QRS по фор­му­ле Ге­ро­на, на­хо­дим: S_QRS= 120 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та . Тогда

d левая круг­лая скоб­ка C,ALR пра­вая круг­лая скоб­ка = d левая круг­лая скоб­ка C, QRS пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3V_CQRS, зна­ме­на­тель: S_QRS конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ: б) d левая круг­лая скоб­ка C,ALR пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 400
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026