Тип 19 № 634467 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На множестве натуральных чисел введем новую операцию «квазиумножения» (*): квазипроизведением чисел m и n будем называть 
где 
а) Решите уравнение 
б) Сколько решений может иметь уравнение 
где p — простое число?
в) Последовательность натуральных чисел {an} назовем квазигеометрической прогрессией со знаменателем q, если 
для всех 
Сколько элементов в самой длинной возрастающей квазигеометрической прогрессии?
Решение. а) Разберем два случая. Если x четно, то 
откуда 
Полученное уравнение имеет решение 
и оно действительно четно. Если x нечетно, то 
откуда 
Это уравнение не имеет целых решений.
б) По условию, 
причем числа 
и 
— целые. Значит, одно из них равно p, а другое — 1. Рассмотрим два варианта.
Если 
и 
то 
и 
Этот случай возможен при a кратном p — тогда можно взять 
Если 
и 
то 
и 
Этот случай возможен при любом a — можно взять 
Итак, у уравнения может быть один или два ответа в зависимости от того, делится ли a на p.
в) Пусть a = 6 и q = 15, тогда
поэтому прогрессия может состоять из двух членов.
Обозначим наибольший общий делитель a и q за d и пусть 
и 
Тогда
Заметим, что yd и xy кратны y, поэтому их наибольший общий делитель не меньше y. Значит,
Итак, 
поэтому из трех членов последовательность состоять не может.
Ответ: а) x = 6; б) одно или два; в) два.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в. | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а или б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) x = 6; б) одно или два; в) два.
634467
а) x = 6; б) одно или два; в) два.
PDF-версии: