На множестве натуральных чисел введем новую операцию «квазиумножения» (*): квазипроизведением чисел m и n будем называть 
где 
а) Решите уравнение 
б) Сколько решений может иметь уравнение 
где p — простое число?
в) Последовательность натуральных чисел {an} назовем квазигеометрической прогрессией со знаменателем q, если 
для всех 
Сколько элементов в самой длинной возрастающей квазигеометрической прогрессии?
а) Разберем два случая. Если x четно, то 
откуда 
Полученное уравнение имеет решение 
и оно действительно четно. Если x нечетно, то 
откуда 
Это уравнение не имеет целых решений.
б) По условию, 
причем числа 
и 
—
Если 
и 
то 
и 
Этот случай возможен при a кратном p — тогда можно взять 
Если 
и 
то 
и 
Этот случай возможен при любом a — можно взять 
Итак, у уравнения может быть один или два ответа в зависимости от того, делится ли a на p.
в) Пусть a = 6 и q = 15, тогда
поэтому прогрессия может состоять из двух членов.
Обозначим наибольший общий делитель a и q за d и пусть 
и 
Тогда
Заметим, что yd и xy кратны y, поэтому их наибольший общий делитель не меньше y. Значит,
Итак, 
поэтому из трех членов последовательность состоять не может.
Ответ: а) x = 6; б) одно или два; в) два.