РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 634876 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 408

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Финансовая математика. Задачи на оптимальный выбор

Предприниматель взял в кредит под 20% годовых сумму S на целое число лет. Кредит должен быть погашен равными ежегодными платежами. Через некоторое целое число лет после исполнения очередного платежа предприниматель обнаружил, что выплатил банку сумму, большую S, при этом сумма оставшихся платежей также была больше S. Найдите минимальный срок, на который предприниматель мог взять кредит.

Решение. Пусть размер ежегодной выплаты составляет x у. е., а срок кредитования составляет n лет, тогда можно составить уравнение:

$1,2 в степени n S минус 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка x минус \ldots минус 1,2 в квадрате x минус 1,2x минус x=0 равносильно$
$равносильно 1,2 в степени n S минус x левая круглая скобка 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1,2 плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 1,2 в степени n S, знаменатель: 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1,2 плюс 1 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 1,2 в степени n S умножить на левая круглая скобка 1,2 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1,2 в степени n минус 1 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 1,2 в степени n S , знаменатель: 5 умножить на левая круглая скобка 1,2 в степени n минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$ $1,2 в степени n S минус 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка x минус \ldots минус 1,2 в квадрате x минус 1,2x минус x=0 равносильно$
$равносильно 1,2 в степени n S минус x левая круглая скобка 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1,2 плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 1,2 в степени n S, знаменатель: 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 1,2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1,2 плюс 1 конец дроби равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 1,2 в степени n S умножить на левая круглая скобка 1,2 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 1,2 в степени n минус 1 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 1,2 в степени n S , знаменатель: 5 умножить на левая круглая скобка 1,2 в степени n минус 1 правая круглая скобка конец дроби .$

Сумма всех выплат равна

$nx= дробь: числитель: 1,2 в степени n S умножить на n, знаменатель: 5 умножить на левая круглая скобка 1,2 в степени n минус 1 правая круглая скобка конец дроби ,$

а половина этой суммы должна быть больше суммы кредита, то есть должно выполняться неравенство

$дробь: числитель: 1,2 в степени n S умножить на n, знаменатель: 10 умножить на левая круглая скобка 1,2 в степени n минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше S равносильно дробь: числитель: 1,2 в степени n умножить на n, знаменатель: 1,2 в степени n минус 1 конец дроби больше 10 равносильно 1,2 в степени n умножить на левая круглая скобка 10 минус n правая круглая скобка меньше 10.$

Рассмотрим последовательность с общим членом $a_n=1,2 в степени n умножить на левая круглая скобка 10 минус n правая круглая скобка .$ Пусть

$k= дробь: числитель: a_n, знаменатель: a_n минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 6 левая круглая скобка 10 минус n правая круглая скобка , знаменатель: 5 левая круглая скобка 11 минус n правая круглая скобка конец дроби .$

Заметим, что

$k=1$ при $n=5$ значит, $a_4=a_5,$

$k больше 1$ при $n меньше 5,$ значит, $a_1 меньше a_2 меньше a_3 меньше a_4,$

$k меньше 1$ при $n больше 5,$ значит, $a_5 больше a_6 больше a_7...$

Первый член этой последовательности $a_1=1,2 умножить на 9=10,8,$ тогда наименьшее решение неравенства $1,2 в степени n умножить на левая круглая скобка 10 минус n правая круглая скобка меньше 10$ следует искать при $n больше или равно 6.$ Находим, что:

$a_6=1,2 в степени 6 умножить на 4= 1,44 умножить на 1,44 умножить на 1,44 умножить на 4 больше 10;$

$a_7=1,2 в степени 7 умножить на 3= 1,44 умножить на 1,44 умножить на 1,44 умножить на 3,6 больше 10;$

$a_8=1,2 в степени 8 умножить на 2= 1,44 умножить на 1,44 умножить на 1,44 умножить на 1,44 умножить на 2 меньше 10.$

Значит, наименьшим целым решением неравенства $1,2 в степени n умножить на левая круглая скобка 10 минус n правая круглая скобка меньше 10$ является число $n=8.$

Ответ: 8.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: 8.

634876

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 408

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	634876	8.