а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно На ребре DD₁ от­ме­че­на точка M так, что Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой A₁F₁ и про­хо­дит через точки M и B.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка A₁, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пред­при­ни­ма­тель взял в кре­дит под 20% го­до­вых сумму S на целое число лет. Кре­дит дол­жен быть по­га­шен рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми. Через не­ко­то­рое целое число лет после ис­пол­не­ния оче­ред­но­го пла­те­жа пред­при­ни­ма­тель об­на­ру­жил, что вы­пла­тил банку сумму, боль­шую S, при этом сумма остав­ших­ся пла­те­жей также была боль­ше S. Най­ди­те ми­ни­маль­ный срок, на ко­то­рый пред­при­ни­ма­тель мог взять кре­дит.

В квад­ра­те ABCD точки P и Q  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки CP и DQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABF, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет ре­ше­ния, ни одно из ко­то­рых не при­над­ле­жит от­рез­ку [2; 8].

Обо­зна­чим через s(n) сумму цифр числа n, а через a(n)  — сумму квад­ра­тов цифр числа n.

а)  Может ли a(n) быть в 12 раз боль­ше, чем s(n)?

б)  У каких на­ту­раль­ных чисел n число a(n) в 9 раз боль­ше, чем s(n)?

в)  Возь­мем любое на­ту­раль­ное число m и со­ста­вим бес­ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность сле­ду­ю­щим об­ра­зом: и для всех При каких m ко­ли­че­ство раз­лич­ных чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти ко­неч­но?