В квадрате ABCD точки P и Q — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CP и DQ пересекаются в точке F.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABF, если 
а) Треугольники BCP и CDQ равны по двум катетам, поэтому
откуда
следовательно, отрезки QF и CF перпендикулярны. Значит, треугольники QFC и PBC подобны, из чего следует, что 
Далее, 
поэтому прямая FB есть биссектриса внешнего угла F треугольника QFC, а потому 
б) Найдем
По теореме синусов 
откуда находим:
Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом AB. Эта окружность проходит через точку D, причем меньшая дуга BD окружности равна центральному углу BAD, то есть 90°, а большая дуга BD этой окружности равна, следовательно, 270°. В пункте а) доказано, что 
поэтому 
Но вписанный угол, равный 135°, опирается на дугу в 270°, а потому точки B, F, D лежат на одной окружности с центром A, и тогда 
Таким образом,
Тогда по основному тригонометрическому тождеству 
Применяя обобщенную теорему синусов к треугольнику ABF, находим радиус описанной вокруг него окружности:
Ответ: б) 
Примечание к пункту б).
После того как показано, что треугольник ABF равнобедренный, можно рассуждать так: в этом треугольнике медиана, проведенная к стороне BF, лежит на серединном перпендикуляре к этой стороне, а потому содержит точки O1 и O2 — центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABF и PBF соответственно. Проведем из этих точек перпендикуляры O1P и O2R к стороне АВ, получим подобные с коэффициентом 
треугольники AO1P и AO2R, тогда
Из треугольника PAO1 по теореме Пифагора находим искомый радиус:
Ответ: 
Приведем решение Ирины Шраго.
а) Треугольники BCP и CDQ равны по двум катетам, поэтому 
откуда 
следовательно, вокруг четырехугольника BPFQ можно описать окружность, тогда углы BFP и BQP равны как углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
б) Из доказанного в пункте а) следует, что 
тогда 
и вокруг четырехугольника APFD можно описать окружность. Следовательно, углы AFP и ADP равны как углы, опирающиеся на одну дугу. Пусть 
тогда из прямоугольного треугольника ADP 
Тогда
По теореме синусов для треугольника AFB
