Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
В квадрате ABCD точки P и Q — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CP и DQ пересекаются в точке F.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABF, если 
откуда
Далее, 
поэтому прямая FB есть биссектриса внешнего угла F треугольника QFC, а потому 
откуда находим:
поэтому 
Но вписанный угол, равный 135°, опирается на дугу в 270°, а потому точки B, F, D лежат на одной окружности с центром A, и тогда 
Таким образом,
Применяя обобщенную теорему синусов к треугольнику ABF, находим радиус описанной вокруг него окружности:
треугольники AO1P и AO2R, тогда
откуда 
следовательно, вокруг четырехугольника BPFQ можно описать окружность, тогда углы BFP и BQP равны как углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
тогда 
и вокруг четырехугольника APFD можно описать окружность. Следовательно, углы AFP и ADP равны как углы, опирающиеся на одну дугу. Пусть 
тогда из прямоугольного треугольника ADP 
2
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если 
откуда
Далее, 
поэтому луч KB есть биссектриса внешнего угла K треугольника NKC, а потому 
откуда находим:
поэтому 
Вписанный угол, равный 135°, опирается на дугу в 270°, а потому точки B, K, D лежат на одной окружности с центром A, и тогда 
Таким образом,
Применяя обобщенную теорему синусов к треугольнику ABK, находим радиус описанной вокруг него окружности:
3
В квадрате ABCD точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K.
а) Докажите, что
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABK, если 
Таким образом,
