В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, и Най­ди­те AC.

Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 3 дня. Всего за­яв­ле­но 20 вы­ступ­ле­ний: по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день за­пла­ни­ро­ва­но 4 вы­ступ­ле­ния, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что вы­ступ­ле­ние ис­пол­ни­те­ля из Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

Иг­раль­ную кость бро­си­ли два раза. Из­вест­но, что пять очков не вы­па­ли ни разу. Най­ди­те при этом усло­вии ве­ро­ят­ность со­бы­тия «сумма вы­пав­ших очков ока­жет­ся равна 10».

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему к точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции в точке x₀.

Рей­тинг R ин­тер­нет-ма­га­зи­на вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где r_пок  — сред­няя оцен­ка ма­га­зи­на по­ку­па­те­ля­ми, r_экс  — оцен­ка ма­га­зи­на, дан­ная экс­пер­та­ми, K  — число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин. Най­ди­те рей­тинг ин­тер­нет-ма­га­зи­на, если число по­ку­па­те­лей, оце­нив­ших ма­га­зин, равно 7, их сред­няя оцен­ка равна 0,32, а оцен­ка экс­пер­тов равна 0,26.

Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 5 часов 50 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 14 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет этот бас­сейн одна вто­рая труба?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние f(−1).

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M, K и N со­от­вет­ствен­но, при­чем Че­ты­рех­уголь­ник AMKN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 1 и 3.

а)  До­ка­жи­те, что N  — се­ре­ди­на BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMKN, если объем приз­мы равен 72, а ее вы­со­та равна 4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на три года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  пла­те­жи в 2027 и в 2028 годах долж­ны быть по 150 тыс. руб.;

—  к июлю 2029 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что платёж в 2029 году будет равен 185,9 тыс. руб. Какую сумму (в тыс. руб.) пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит?

В квад­ра­те ABCD точки M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки CM и DN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABK, если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет боль­ше двух раз­лич­ных кор­ней.

С трёхзнач­ным чис­лом про­из­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: вы­чи­та­ют из него сумму его цифр, а затем по­лу­чив­шу­ю­ся раз­ность делят на 3.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 240?

б)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 163?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции из чисел от 100 до 700 вклю­чи­тель­но?