Обозначим через s(n) сумму цифр числа n, а через a(n) — сумму квадратов цифр числа n.
а) Может ли a(n) быть в 12 раз больше, чем s(n)?
б) У каких натуральных чисел n число a(n) в 9 раз больше, чем s(n)?
в) Возьмем любое натуральное число m и составим бесконечную последовательность 
следующим образом: 
и 
для всех 
При каких m количество различных членов этой последовательности конечно?
Пусть цифры числа n
а) Проверим может ли a(n) быть в 12 раз больше, чем s(n). Получаем:
Значит, это невозможно.
б) Чтобы равенство 
было верным, все неравенства предыдущего пункта должны обратиться в равенства, то есть для любой цифры должно выполняться условие 
откуда x = 0 или x = 9. Итак, подходят все числа, запись которых состоит лишь из нулей и девяток.
в) Если первый член последовательности 
то есть если число m содержит в записи k цифр, где 
то тогда
Неравенство 
равносильно неравенству 
что верно при 
а при увеличении k на единицу правая часть растет 
Таким образом, если первый член m последовательности не меньшее тысячи, то последовательность будет убывать до тех пор, пока ее члены не станут трехзначными (или даже двух- или однозначными). После этого они уже никогда не станут больше тысячи, поскольку для чисел 
сумма квадратов их цифр 
Следовательно, последовательность будет содержать конечное количество членов, не меньших тысячи (их не более m, ведь последовательность убывает) и никак не больше 999 различных значений членов последовательности, меньших тысячи. Значит, при любом m количество различных членов последовательности конечно.
Ответ: а) нет; б) числа, запись которых состоит лишь из нулей и девяток;