РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Обозначим через s(n) сумму цифр числа n, а через a(n)  — сумму квадратов цифр числа n.

а)  Может ли a(n) быть в 12 раз больше, чем s(n)?

б)  У каких натуральных чисел n число a(n) в 9 раз больше, чем s(n)?

в)  Возьмем любое натуральное число m и составим бесконечную последовательность $левая фигурная скобка x_n правая фигурная скобка$ следующим образом: $x_1=m$ и $x_n плюс 1=a левая круглая скобка x_n правая круглая скобка$ для всех $n больше или равно 1.$ При каких m количество различных членов этой последовательности конечно?

Решение. Пусть цифры числа n это x₁, x₂, ..., x_k. Все они не превосходят 9.

а)  Проверим может ли a(n) быть в 12 раз больше, чем s(n). Получаем:

$a левая круглая скобка n правая круглая скобка =x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате плюс \ldots плюс x_k в квадрате =x_1 умножить на x_1 плюс x_2 умножить на x_2 плюс \ldots плюс x_k умножить на x_k меньше или равно 9x_1 плюс 9x_2 плюс \ldots плюс 9x_k=$
$=9 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс \ldots плюс x_k правая круглая скобка =9s левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше 12s левая круглая скобка n правая круглая скобка .$ $a левая круглая скобка n правая круглая скобка =x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате плюс \ldots плюс x_k в квадрате =$
$=x_1 умножить на x_1 плюс x_2 умножить на x_2 плюс \ldots плюс x_k умножить на x_k меньше или равно 9x_1 плюс 9x_2 плюс \ldots плюс 9x_k=$
$=9 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс \ldots плюс x_k правая круглая скобка =9s левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше 12s левая круглая скобка n правая круглая скобка .$

Значит, это невозможно.

б)  Чтобы равенство $a левая круглая скобка n правая круглая скобка =9s левая круглая скобка n правая круглая скобка$ было верным, все неравенства предыдущего пункта должны обратиться в равенства, то есть для любой цифры должно выполняться условие $x в квадрате =9x,$ откуда x  =  0 или x  =  9. Итак, подходят все числа, запись которых состоит лишь из нулей и девяток.

в)  Если первый член последовательности $m больше или равно 1000,$ то есть если число m содержит в записи k  цифр, где $k больше или равно 4,$ то тогда

$m больше или равно 100 \ldots 0=10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка больше k умножить на 9 в квадрате больше или равно a левая круглая скобка m правая круглая скобка .$

Неравенство $10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка больше k умножить на 9 в квадрате$ равносильно неравенству $10 в степени k больше 810k,$ что верно при $k=4,$ а при увеличении k на единицу правая часть растет на 810, а левая  — минимум на 90 000, поэтому неравенство верно при всех натуральных k, не меньших  4, и тогда $m больше a левая круглая скобка m правая круглая скобка .$

Таким образом, если первый член m последовательности не меньшее тысячи, то последовательность будет убывать до тех пор, пока ее члены не станут трехзначными (или даже двух- или однозначными). После этого они уже никогда не станут больше тысячи, поскольку для чисел $m меньше 1000$ сумма квадратов их цифр $a левая круглая скобка m правая круглая скобка меньше или равно 3 умножить на 9 в квадрате =243 меньше 1000.$ Следовательно, последовательность будет содержать конечное количество членов, не меньших тысячи (их не более m, ведь последовательность убывает) и никак не больше 999 различных значений членов последовательности, меньших тысячи. Значит, при любом m количество различных членов последовательности конечно.

Ответ: а)  нет; б)  числа, запись которых состоит лишь из нулей и девяток; в) при всех m.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	634879	а)  нет; б)  числа, запись которых состоит лишь из нулей и девяток; в) при всех m.

Ключ