PDF-версии: 
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC и AC = 16. На ребре BB1 выбрана точка F так, что 
Угол между плоскостями 
а) Докажите, что расстояние между прямыми AB и A1C1 равно боковому ребру призмы.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и A1C1, если FC = 10.
Решение. а) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, каждая из которых содержит одну из скрещивающихся прямых и параллельна другой. Для прямых AB и A1C1 такими плоскостями являются основания призмы. Расстояние между ними равно высоте призмы, то есть боковому ребру, так как призма прямая.
б) Из п. а) следует, что искомое расстояние равно боковому ребру BB1. В треугольнике ABC проведем медиану, биссектрису и высоту BM, где точка М — середина стороны AC и отрезки BM и AC перпендикулярны. Пусть отрезок MN — средняя линия прямоугольника ACC1A1, следовательно, отрезок MN перпендикулярен основанию AC. Кроме этого, по теореме о трех перпендикулярах отрезки 
и BM = BF.
Тогда 
значит,
откуда 
Далее,
следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |