Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 635566
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB  =  BC и AC  =  16. На ребре BB1 вы­бра­на точка F так, что B F: B_1 F=3: 5. Угол между плос­ко­стя­ми AA1C и АFС равен 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A1C1 равно бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A1C1, если FC  =  10.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми, каж­дая из ко­то­рых со­дер­жит одну из скре­щи­ва­ю­щих­ся пря­мых и па­рал­лель­на дру­гой. Для пря­мых AB и A1C1 та­ки­ми плос­ко­стя­ми яв­ля­ют­ся ос­но­ва­ния приз­мы. Рас­сто­я­ние между ними равно вы­со­те приз­мы, то есть бо­ко­во­му ребру, так как приз­ма пря­мая.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно бо­ко­во­му ребру BB1. В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­дем ме­ди­а­ну, бис­сек­три­су и вы­со­ту BM, где точка М  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AC и от­рез­ки BM и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пусть от­ре­зок MN  — сред­няя линия пря­мо­уголь­ни­ка ACC1A1, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок MN пер­пен­ди­ку­ля­рен ос­но­ва­нию AC. Кроме этого, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­рез­ки FM и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда угол FMN яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла FACA1 и равен 45°, угол BMN яв­ля­ет­ся ли­ней­ным углом дву­гран­но­го угла BACA1 и равен 90°, сле­до­ва­тель­но, \angle BMF=\angle BFM= 45 гра­ду­сов и BM  =  BF.

Тогда CM= дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =8, зна­чит,

FM в квад­ра­те =FC в квад­ра­те минус CM в квад­ра­те =36, BM в квад­ра­те плюс FB в квад­ра­те =2FB в квад­ра­те =FM в квад­ра­те =36,

от­ку­да FB= 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Далее,

дробь: чис­ли­тель: BB_1, зна­ме­на­тель: FB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: FB_1 плюс FB, зна­ме­на­тель: FB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но, BB_1= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби FB=8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 411
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми, Пря­мая приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025