а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB  =  BC и AC  =  16. На ребре BB₁ вы­бра­на точка F так, что Угол между плос­ко­стя­ми AA₁C и АFС равен

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁ равно бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁, если FC  =  10.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Павел по­ло­жил 1 мил­ли­он руб­лей на счет в банк на не­ко­то­рое ко­ли­че­ство лет. В конце каж­до­го года его вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15%. Потом Павел пе­ре­ло­жил все день­ги в дру­гой банк. Во вто­ром банке вклад уве­ли­чи­вал­ся на 20% в конце каж­до­го года. Через не­сколь­ко лет вклад Павла со­ста­вил 2 285 280 руб­лей. Сколь­ко лет вклад Павла хра­нил­ся во вто­ром банке?

В угол впи­са­но не­сколь­ко окруж­но­стей, ра­ди­у­сы ко­то­рых воз­рас­та­ют. Каж­дая сле­ду­ю­щая окруж­ность ка­са­ет­ся преды­ду­щей окруж­но­сти. Длина ра­ди­у­са пер­вой окруж­но­сти равна 1, а пло­щадь круга, огра­ни­чен­но­го чет­вер­той окруж­но­стью, равна 64π.

а)  До­ка­жи­те, что длины ра­ди­у­сов окруж­но­стей об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию.

б)  Най­ди­те сумму длин вто­рой и тре­тьей окруж­но­стей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние:

имеет ровно один ко­рень.

На доске в одну стро­ку слева на­пра­во на­пи­са­ны n на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дое сле­ду­ю­щее из них яв­ля­ет­ся квад­ра­том преды­ду­ще­го.

а)  Могли ли при n  =  3 на доске быть на­пи­са­ны ровно 11 цифр (на­при­мер, если на доске на­пи­са­ны числа 5, 25 и 625, то на­пи­са­ны ровно 6 цифр)?

б)  Могли ли при n  =  3 на доске быть на­пи­са­ны ровно 12 цифр?

в)  Какое самое ма­лень­кое число может быть на­пи­са­но на доске при n  =  4, если на доске на­пи­са­но ровно 22 цифры?