ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 635571 Добавить в вариант

На доске в одну строку слева направо написаны n натуральных чисел, причём каждое следующее из них является квадратом предыдущего.

а)  Могли ли при n  =  3 на доске быть написаны ровно 11 цифр (например, если на доске написаны числа 5, 25 и 625, то написаны ровно 6 цифр)?

б)  Могли ли при n  =  3 на доске быть написаны ровно 12 цифр?

в)  Какое самое маленькое число может быть написано на доске при n  =  4, если на доске написано ровно 22 цифры?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что если в числе k цифр (то есть оно находится в границах от $10 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка$ до $10 в степени k минус 1 правая круглая скобка ,$ то его квадрат находится в границах $10 в степени левая круглая скобка 2k минус 2 правая круглая скобка$ до $10 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка минус 1$ и потому имеет либо $2k минус 1,$ либо 2k цифр.

а)  Если начальное число двузначно, его квадрат трехзначен, а его квадрат шестизначен, такое может произойти. Например, годятся 31, $31 в квадрате =961,$ $961 в квадрате больше 400 в квадрате =160 000.$

б)  Если начальное число имеет две цифры, то его квадрат имеет либо 3, либо 4, а квадрат этого квадрата имеет 5 или 6 цифр в первом случае и 7 или 8 во втором. Но $2 плюс 3 плюс 6 меньше 12 меньше 2 плюс 4 плюс 7.$

Если начальное число имеет три цифры или больше, то следующие имеют минимум 5 и 9 цифр, в сумме больше 12. Наконец, для однозначного числа квадрат имеет не более двух цифр, а его квадрат  — не более четырех.

в)  Если начальное число имеет три цифры или больше, то все числа вместе имеют минимум $3 плюс 5 плюс 9 плюс 17 больше 22$ цифр, а если имеет лишь одну цифру, то все числа вместе имеют максимум $1 плюс 2 плюс 4 плюс 8 меньше 22$ цифр. Значит, начальное число двузначное.

Если его квадрат четырехзначен, то все числа вместе имеют минимум $2 плюс 4 плюс 7 плюс 15 больше 22$ цифр, значит, его квадрат трехзначен.

Если третье число (квадрат квадрата) пятизначно, то все числа вместе имеют максимум $2 плюс 3 плюс 5 плюс 10 меньше 22$ цифр. Значит, оно шестизначно, а последнее число имеет $22 минус 2 минус 3 минус 6=11$ цифр. Итак, нужно наименьшее двузначное число a, такое что:

$a в квадрате принадлежит левая квадратная скобка 100; 1000 правая круглая скобка ,$ $a в степени 4 принадлежит левая квадратная скобка 10 в степени 5 ; 10 в степени 6 минус 1 правая круглая скобка ,$ $a в степени 8 принадлежит левая квадратная скобка 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка ; 10 в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка минус 1 правая квадратная скобка .$

Отметим также, что если $a меньше b$   — натуральные числа, то и $a в степени k меньше b в степени k$ при всех натуральных значениях k поэтому a^k имеет не больше цифр, чем b^k.

При n  =  17 имеем:

$17 в степени 8 =289 в степени 4 меньше 300 в степени 4 =81 умножить на 10 в степени 8 меньше 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка ,$

поэтому 17 и все меньшие числа не подходят.

При $n=18$ имеем:

$18 в квадрате =324,$ $18 в степени 4 =324 в квадрате больше 320 в квадрате =102 400,$ $18 в степени 8 =324 в степени 4 меньше 400 в степени 4 =256 умножить на 10 в степени 8 меньше 10 в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка ,$

поэтому 18 подходит. Это и есть искомое наименьшее натуральное число. Дополнительно заметим, что

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  18.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 411

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь