Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те плюс 21= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 7 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния за­да­ет­ся со­от­но­ше­ни­я­ми  синус x боль­ше 0 и  минус 5 мень­ше или равно x мень­ше или равно 5. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этих огра­ни­че­ни­ях, по­лу­ча­ем:

2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те плюс 21= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 7 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4 =0 рав­но­силь­но  рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =4, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 4 левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель:  конец дроби 2 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти .k при­над­ле­жит Z .

Из по­лу­чен­ных кор­ней от­бе­рем те, ко­то­рые лежат в об­ла­сти опре­де­ле­ния урав­не­ния, за­пи­сав двой­ные не­ра­вен­ства для целых зна­че­ний k и l:

 минус 5 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно 5 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но k=0;

 минус 5 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи l мень­ше или равно 5 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше или равно l мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 Пи конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний l= минус 1, l=0. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ров со­от­вет­ству­ют корни  минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

б)  Из трех кор­ней, по­лу­чен­ных в п. а), от­ри­ца­тель­ным яв­ля­ет­ся толь­ко  минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . Он боль­ше, чем  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , сле­до­ва­тель­но, лежит в за­дан­ном от­рез­ке.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 411
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус